• главная  »  
• Аттенюаторы  »  
• Аттенюаторы и нагрузки  »  
• Расчёт индуктивных параметров плёночных резисторов

Расчёт декомпозиционных индуктивных параметров плёночных резисторов.

В работе получено соотношение, связывающее декомпозиционные индуктивные параметры и собственную индуктивность плёночного резистора. В полученном соотношении сделан предельный переход, в результате которого оно сведено к интегральному уравнению Вольтерра первого рода типа свёртки, позволяющему определить взаимные индуктивности между декомпозиционными блоками.

1. Введение

В настоящее время в различных сверхвысокочастотных (СВЧ) устройствах широко применяются планарные плёночные резисторы большой мощности. Максимальную рабочую частоту плёночных резисторов ограничивают индуктивные и емкостные параметры резистивной плёнки, которые определяются на основе декомпозиционного подхода, заключающегося в том, что резистивная плёнка разбивается на элементарные блоки, как показано на рис.1.

Рис.1

Основой разбиения по ширине плёночного резистора является метод токовых полос [1]. Декомпозиция по ширине резистивной плёнки учитывает неравномерность плотности тока в поперечном сечении плёнки, но в пределах одного блока плотность тока предполагается неизменной. Каждый из блоков обладает собственной ёмкостью и индуктивностью в зависимости от топологического места блока.

Целью данной работы является получение соотношения, связывающего декомпозиционные индуктивные параметры и собственную индуктивность плёночного резистора, а так же рассмотрение случая предельного перехода,  соответствующего бесконечному увеличению числа блоков в поперечном сечении.

2. Представление собственной индуктивности плёночного резистора через декомпозиционные параметры.

Определение собственной индуктивности проведём на основе понятия среднего геометрического расстояния в поперечных сечениях [1,2]:

(1)

где - расстояние между двумя произвольными элементами площади ds₁ и ds₂.

В соответствии с общим определением собственной индуктивности металлической или резистивной плёнки L [2], поперечное сечение которой изображено на рис.2а, справедливо соотношение:

(2)

где - натуральный логарифм среднегеометрического расстояния между плёнкой b и её симметричным положением b` относительно металлического основания;
- натуральный логарифм среднегеометрического расстояния плёнки b относительно самой себя;
- абсолютная магнитная проницаемость.

При разбиении плёнки по поперечному сечению на два одинаковых блока (рис.2а), взаимная индуктивность между блоками 1 и 2 равна

(3)

Рис.2
На рис.2 приведено деление плёнки в поперечном сечении на блоки:
а) на две одинаковых блока; б) на три одинаковых блока.

Ниже металлической поверхности на рис.2а,б изображено их зеркальное отображение. Собственная индуктивность каждого декомпозиционного блока определяется соотношением, аналогичным (2):

(4)

Если в выражении (2) ввести обозначение , то выражения (1),(3),(4) перепишем следующим образом:

(5)

(6)

(7)

где - общая площадь поперечного сечения резистивной плёнки;
- площадь зеркального отображения поперечного сечения резистивной плёнки.

В соотношениях (6) - (7) учтено уменьшение площади поперечного сечения блоков по отношению к площади поперечного сечения всей плёнки при разбиении на два блока.

Интегрирование по площади можно представить как интегрирование по площади «1» плюс интегрирование по площади «2» плюс интегрирование по площади «1» относительно площади «2» и плюс интегрирование по площади «2» относительно площади «1». Интегрирование по площади проводится аналогично.

В соответствии с теоремой Химеттера [2]  J_1,2' = J_2,1' , поскольку интегрирование  проводится по одинаковым площадям с одинаковыми подынтегральными функциями, справедливы следующие равенства

(8)

Используя разбиение интеграла J_b,b и J_b,b' на интегралы по площадям 1, 2, 1', 2'  (рис.2а) и соотношение (8), получим:

(9)

(10)

Подставим соотношения (9) и (10) в (5)

(11)

Выражение для собственной индуктивности (11) с учётом (6) и (7) преобразуем к виду:

(12)

При разбиении плёнки в поперечном сечении на три одинаковых блока, как показано на рис.2б, по аналогии с приведёнными выше рассуждениями для разбиения на два блока и теоремой Химеттера, можно записать:

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

Подставив в (15) выражения (16) - (18), получим следующее соотношение для собственной индуктивности:

(19)

При разбиении резистивной плёнки в поперечном сечении на четыре одинаковых блока выражение для собственной индуктивности плёнки имеет вид:

(20)

Сопоставив (12), (19) и (20), запишем в общем виде выражение для собственной индуктивности плёнки при её разбиении в поперечном сечении на m одинаковых блоков:

(21)

Последнее соотношение для разбиения на m блоков представим в виде:

(22)

Как видно из рассмотрения (22), собственная индуктивность резистивной плёнки L зависит только от коэффициентов M_1,i+1, так как в соответствии с (8) взаимоиндуктивности будут одинаковыми для индексов, между которыми разность по модулю одинакова и отсутствующие в формуле M_2,i+1,M_3,i+1 , и так далее, учитываются коэффициентами при M_1,i+1 .

Доказательство верности обобщенного выражения (22) при разбиении резистивной плёнки на любое произвольное число блоков в поперечном сечении проведём следующим образом. Уравнение (22) выведено для разбиения резистивной плёнки на два, три и четыре одинаковых блока. В соответствии с методом математической индукции предположим, что выражение (22) справедливо также и при разбиении на m одинаковых блоков. Тогда при разбиении на m+1 блоков, можно записать:

(23)

Заметим, что если блоков было на один меньше (рис.3.а), то оставшиеся m блоков занимали бы площадь:

(24)

С учётом этого, можно записать:

(25)

Рис.3  
На рис.3 приведено разбиение поперечного сечения плёнки на q блоков:
а) для случая q конечно; б) для случая  .

В выражении (23) выделим слагаемые, соответствующие разбиению на m блоков, и заменим в соответствии с равенством (25):

(26)

Учитывая, что

(27)

(28)

(29)

для индуктивности L получим

(30)

Из формулы (30) следует, что если соотношение (22) выполняется при разбиении резистивной плёнки на m блоков, то оно выполняется и при разбиении на m+1 блок. Таким образом, соотношение (22) носит общий характер и выполняется при любом произвольном числе разбиений резистивной плёнки на блоки в поперечном сечении.

3. Вывод интегрального соотношения для собственной индуктивности резистивной плёнки.

На основе метода математической индукции доказано, что формула (30) правомерна при любом m, а так как значения - ограничены [2], поэтому без потери общности рассмотрим следующий ряд:

(31)

или ряд

(32)

Сходимость ряда (32) сводится к сходимости следующей последовательности сумм:
S₁,S₂,S₃,...,S_m,S_m+1,...,S_m+p,..., где p > 1 – целое положительное число.

Рассмотрим разность сумм двух рядов:

(33)

Теперь пусть  - есть сколь угодно малое положительное число. Тогда запишем следующее неравенство:

(34)

Исходя из (33) и (34) можно записать следующее неравенство:

(35)

то есть на основании признака Коши ряд (30) при сходится.

Предположим, что при , начиная с какого-то m разбиений выражение (30) равно не L. Но это находится в противоречии с доказанным выше утверждением, что если деление на m блоков в формуле (30) равно L, то деление на m+1 блок также равно L.
Таким образом, можно сделать вывод, что ряд (30) при сходится к L.

Если в выражении (30) умножить числитель и знаменатель на и бесконечно увеличивать число разбиений, то выражение под суммой переходит в интеграл:

(36)

где .

Выражения для функций ln g₁(y) и ln g₂(y) приведены ниже в (37) и (38).

Физический смысл интеграла свёртки L(b)=F(b,M(y)) в том, что собственная индуктивность полной ширины резистивной плёнки над металлическим основанием определяется свёрткой взаимных индуктивностей между одним из краёв резистивной плёнки и продольной полоской единичной длиной и шириной взятых с весом, равным .

Среднегеометрические расстояния g₁ (y) между одним из краёв резистивной плёнки и продольной полоской единичной длиной и шириной , как показано на рис.3.б, определяются по соотношению [2]:

(37)

где .

Среднегеометрические расстояния g₂ (y)между одним из краёв резистивной плёнки и зеркальной продольной полоской единичной длиной и шириной , как показано на рис.3.б, определяются следующим соотношением [2]:

(38)

где , r₁,r₂,r₃,r₄ - обозначены на рис.4.

Рис.4

Если в выражении (36) представить b - текущей ординатой, определяющей индуктивность как функцию ширины плёнки, то интеграл (36) определяет индуктивность по всей ширине плёнки. При этом должна быть известна зависимость M(y) которая определяет взаимоиндуктивность крайней токовой линии с любой другой токовой линией вплоть до противоположного края плёнки.

В случае, если известна общая индуктивность L как функция ширины плёнки b, то выражение (36) представляет собой интегральное уравнение Вольтерра первого рода типа свёртки [3], в котором искомой зависимостью является функция M(y), находящаяся под знаком интеграла. Если аналитически или численно задана функция L(b), то соотношение (36) позволяет определить M(y) и задать Z - матрицу, описывающую индуктивную составляющую комплексного сопротивления резистивной плёнки в соответствии с выбранным количеством токовых линий, равных числу декомпозиционных блоков m. Интегральное уравнение (36) по известной классификации [4] является некорректным и решается регуляризацией по методу А.Н. Тихонова.

По методике [2] были рассчитаны декомпозиционные погонные индуктивные параметры резистивной плёнки, имеющей следующие размеры:  b=5 мм,  l= 2 мм, мм. Результаты расчёта декомпозиционных погонных индуктивных параметров приведены в таблице 1. В этой же таблице приведены результаты расчёта собственной погонной индуктивности плёнки через декомпозиционные параметры по полученному в данной работе выражению (22).

Таблица 1. Результат расчёта погонных декомпозиционных индуктивных параметров резистивной плёнки.

Анализ данных, приведённых в таблице 1, показывает, что рассчитанные декомпозиционные параметры адекватно представляют индуктивные свойства резистивной плёнки, так как при любом значении m (количество блоков в поперечном сечении) и фиксированном размере b (ширина плёнки) собственная интегральная индуктивность L остаётся неизменной.

Заключение.

1. Приведённые в работе соотношения позволяют рассчитать декомпозиционные индуктивные и взаимоиндуктивные параметры при конечном числе декомпозиционных блоков, которые однозначно соответствуют собственной индуктивности плёночного резистора.
2. Получено интегральное соотношение в виде уравнения Вольтерра первого рода для собственной индуктивности резистивной плёнки на основе введения функции взаимоиндуктивности между токовыми линиями с поперечными дифференциальными размерами.
3. При известных значениях декомпозиционных ёмкостей плёночного резистора, найденные декомпозиционне индуктивные и взаимоиндуктивные параметры могут быть использованы для составления - матрицы плёночного резистора, описывающей его комплексный импеданс в широкой области частот и определить распределение СВЧ токов по поперечному сечению.

Библиографический список

1. Калантаров П.А., Цейтлин Л.А. Расчёт индуктивностей. Справочная книга. - Ленинград: Энергоатомиздат, 1986.
2. Цейтлин Л.А. Индуктивности проводов и контуров. - М.: Госэнергоиздат, 1950.
3. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. - М.: Изд-во МГУ, 1984.
4. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1979.

Версия для печати